| 证明论 proof theory 数理逻辑分支。研究形式系统的无矛盾性的理论。它的主要研究对象是演绎方法，以演绎方法为基础的公理方法及证明等。由希尔伯特首先提出。古希腊数学家欧几里得撰写的《几何原本》是公理系统的最早雏形。由于书中第五公设缺乏自明性，因此，历史上有许多数学家想把它当做定理加以证明，这种努力延续了一千多年。以后人们试图改用反证法，从第五公设的否定命题出发，希望能导出矛盾，从而证明第五公设。这样得到的无矛盾系统，后称为非欧几何学，从而使公理系统的无矛盾性问题，成为数学家、逻辑学家所关注的问题。作为正确的演绎方法，应该从真命题导出真命题，作为定理当然被看成是真的。但是，由于两个矛盾命题只能有一个真，它们不可能都成为定理。因此如果一个命题和它的否定命题都能被选择作为公理，那么公理就可以不必真，当然由此推出的定理也可以不必再是真的。由此决定了公理系统的无矛盾性即一致性是至关重要的。非欧几何的一致性直到1868年由贝尔特拉米(E. Beltrami)使用了解释、模型的方法证明了有欧几里得模型后，才获得解决。这种把一门新的理论的一致性的证明，通过解释转化为对一门相对来说比较成熟理论的一致性的证明，称为相对一致性证明。但相对一致性证明的方法有一限度，总会有一门或几门理论，它们的一致性证明不再能通过解释转化到另外的理论方面去，而是要直接加以证明，这就需要绝对一致性证明，如寻找自然数算术理论和集合论的一致性证明。在罗素与怀特海的《数学原理》、策梅罗的公理集合论已先后发表的条件下，希尔伯特于1922年提出了他的证明论，即希尔伯特方案。其基本步骤是：将理论置入逻辑演算中，使之完全形式化，构成形式系统;用元理论研究这些逻辑性质，特别是证明的逻辑性质，是否会产生逻辑矛盾等。希尔伯特强调这一证明要使用有穷方法。古典数学的无矛盾性问题是由实无穷引起的，古典的逻辑演算也假定了实无穷，因此，如果仍然用实无穷为前提去证明无矛盾性，就会犯循环论证的错误，希尔伯特的有穷方法的特征是：每一步骤只考虑确定的有穷数量的对象，承认潜无穷，不处理实无穷，可以有限制地使用数学归纳法。但是他的只需要若干即将出现的纯粹算术的初等引理，就能证明分析理论的一致性设想，由于1931年哥德尔发表了《论数学原理和有关系统中形式不可判定命题》的论文，证明了不完全性定理，从而对希尔伯特的论断作了否定的回答。尽管证明论原来的目的未能达到，但在放宽限制之后，得到了许多重要的新成果。如希尔伯特学派放宽了对证明论的要求，允许在有限方法以外可以采用超限归纳后，1935年甘岑等人就用这种推广的方法先后证明了数论的一致性。后来这种证明又被推广到古典分析那一部分中。 |