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| 标题 | 分支类型论 |
| 类别 | 哲学 |
| 释义 | 分支类型论 ramified theory of types 亦称“分枝类型论”、“类型支论”。把类不仅划分成型，而且还划分成阶(亦称级)的类型论。英国罗素于1908年在《以类型论为基础的数理逻辑》一文中首次提出这一理论，并在《数学原理》(1910—1913)中对它作了系统的表述。罗素持“无类理论”的立场，他不是从类出发、而是从命题函数出发来构造分支类型论的。罗素对命题函数进行了严格的分层处理，最低层次的函数是个体，用字母x、y、z、…表示个体变元，可称为0阶函数;比个体高一层次的是一阶函数，它是以个体为自变元或约束变元的函数，例如φ(x)，(y)Ψ(x，y)，(y)(∃x)φ(x，y，z)等等;更高一个层次的是二阶函数，它以个体和一阶函数为变元(自变元或约束变元)，且变元中至少包含一个一阶函数，例如，设φ!z、Ψ!z为Z的一阶函数，则(φ)g(φ!z，Ψ!z)，(∃x)f(Ψ!z，x)，(φ)f(φ!z，x)等都是二阶函数。一般的，如果一个函数中变元(自变元或约束变元)的最高阶是n(n≥0)，则称这一函数是n+1阶的。罗素遵从“恶性循环原则”，把命题函数区分为直谓的和非直谓的。对什么是直谓函数，他作了严格的定义：对一元函数而言，当函数的阶恰比它的自变元的阶高1时，称为直谓的，一般的，对于有k(k≥1)个自变元的k元命题函数，若k个自变元的最高的阶为n，而函数的阶为n+1，则称该k元函数是直谓的。由此可知，一阶函数都是直谓函数，但二阶和二阶以上的函数则划分为直谓与非直谓两种。罗素进而引入可归化公理：对任何命题函数，必存在一个与它形式等价的直谓函数。在这一公理和命题函数分层的基础上建立起类的理论并发展了数学。由于罗素的分支类型论过于复杂，近代数理逻辑学家在介绍分支类型论时往往采用与罗素不同的更为简洁的处理方式。这种处理方式以明确的类的观点为出发点，从“型”与“阶”(亦称为级)两个不同的方面进行分层。一方面按类进行外延的分层，即分为个体、个体的类或性质(谓词)，个体的类的类或个体的性质(谓词)的性质(谓词)，……分别称为0型，1型，2型，……;另一方面又对性质(谓词)作阶的划分，在定义方法上未涉及所有性质(谓词)的那些性质(谓词)是一阶的，它相当于直谓函数，下定义时仅涉及一阶性质(谓词)全体的那些性质(谓词)称为二阶的，……一般的，下定义时最高涉及n(n≥1)阶性质(谓词)全体的那些性质(谓词)称为n+1阶的，当阶n>1时，这一性质(谓词)就相当于非直谓函数。分支类型论可避免一切已知的悖论，但是由于若不引入可归化公理就无法推出数学，而可归化公理的实际作用正是取消“阶”(亦称为级)的划分而保留“型”的划分，从而分支类型论就又将转化为简单类型论。 |
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