余弦定理是三角形中一个非常重要的定理,它可以帮助我们解决各种三角形问题。无论是已知三边求一角,还是已知两边一角求第三边,亦或是已知两角一边求第三边,只要掌握好余弦定理公式的应用,都能轻松解决。下面我们就来详细了解一下余弦定理公式的内容。

余弦定理公式

余弦定理公式有三种形式,分别适用于不同的三角形问题。

1. 已知三边求一角

已知三角形的三边长度a、b、c,可以使用以下公式求出夹在a、b边之间的角C:

$$c^2 = a^2 b^2 - 2ab\cos C$$

2. 已知两边一角求第三边

已知三角形两边a、b及其夹角C,可以使用以下公式求出第三边c:

$$c^2 = a^2 b^2 - 2ab\cos C$$

3. 已知两角一边求第三边

已知三角形两角A、B及其对边a,可以使用以下公式求出第三边c:

$$c^2 = a^2 b^2 - 2ab\cos C$$ 其中C = 180° - A - B。

掌握好这三种余弦定理公式的应用,就可以轻松解决各种三角形问题了。下面我们来看几个具体的应用案例。

余弦定理公式应用案例

1. 已知三角形三边长度分别为a = 3cm、b = 4cm、c = 5cm,求夹在a、b边之间的角C。

根据公式:$$ c^2 = a^2 b^2 - 2ab\cos C $$ 代入数据可得:$$ 5^2 = 3^2 4^2 - 2 \times 3 \times 4 \cos C $$ 解得:$$ \cos C = \frac{3^2 4^2 - 5^2}{2 \times 3 \times 4} = \frac{9 16 - 25}{24} = -\frac{1}{3} $$ 因此,角C = 120°。

2. 已知三角形两边长度分别为a = 3cm、b = 4cm,夹角C = 60°,求第三边长度c。

根据公式:$$ c^2 = a^2 b^2 - 2ab\cos C $$ 代入数据可得:$$ c^2 = 3^2 4^2 - 2 \times 3 \times 4 \times \cos 60° $$ 解得:$$ c^2 = 9 16 - 2 \times 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 25 - 12\sqrt{3} $$ 因此,第三边长度c = $\sqrt{25 - 12\sqrt{3}}$。

3. 已知三角形两角A = 30°、B