| 数学归纳法 mathematical induction 亦称“递归证法”。完全归纳法的一种。数学上证明命题的一种方法。由于自然数具有这样一个重要性质：任意一个自然数的集合，如果包含1;并且假设包含k，也一定包含k的后继数k+1，那么这个集合包含所有的自然数。根据这一性质，为了证明与自然数n有关的一个命题，如果能证明(1)当n=1时命题成立;(2)当n=k时命题成立的条件下，如n=k+1命题也成立，那么，我们就能由n=1时命题成立，推出n=1+1=2也成立;由n=2时命题成立，推出n=2+1=3时也成立……这样，则对于任意自然数n命题都成立。例如，由于1=12，又在1+3+5+…+(2k-1)=k2的假定下，得到1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)2，所以最初n个奇数的和等于n2。一般说来，对于一些可以递推的有关自然数的命题，都可以用这种数学归纳法来证明。应用这种归纳法证题时，主要有以下两个步骤。第一步：证明当n=1时命题成立;第二步：假设当n=k时命题成立，证明n=k+1时命题也成立。两个步骤缺一不可。第一步是奠基步骤，缺少它递进就没有基础;第二步是归纳步骤，缺少它递进就没有根据。前者为后者的假定提供了初始的实际根据，在此基础上，才能经第二步逐个递推，作出“命题对任意自然数都成立”的结论。 |