| 数学基础 foundation of mathematics 亦称“数理哲学”。关于数学中具有普遍性和本质性问题的理论。研究数学基础的可靠性、确定性、真理性以及数学发现的逻辑(即数学方法论)等问题。与逻辑有密切联系。它一方面研究数学的一般性哲学问题，如数学真理的性质、数学活动的性质、数学对象的实在性以及数学和逻辑的关系等;另一方面研究数学中的某些特殊问题，如对特殊概念(集合概念、无限概念等)的剖析、重大数学结果的解释和存在问题(集合论、悖论等)的分析等。在古希腊，数学与逻辑学是严格分家的，数学的基础主要是空间直觉。最早发展起来的数学学科——欧几里得几何学已经初具现代公理化数学系统的规模。它从少数几条公理和公设出发推演出许多定理(虽然推理中仍常常借助于直观，因此推理并不十分严格，但当时并未意识到这一点)，当时人们认为公理是可靠的，公设是符合空间本性的，因此整个欧几里得几何系统的真理性和确定性不成问题。这是一种未经反思的信念。文艺复兴之后，在欧洲大陆和英国分别兴起的理性主义和经验主义两大哲学流派都注重认识论的研究，从各自的角度深入地考察认识基础的可靠性。但他们都仍未重视数学基础。例如休谟对因果性观念提出的质疑，被认为致命地毁坏了当时整个经验科学的基础，他所提出的“归纳问题”，至今仍有许多逻辑学家和哲学家在寻找答案。但他仍把所谓“解证的真理”，即数学命题当作无可置疑的东西而不予审视。此后，康德在比休谟分析所及远为广泛的范围内论证和回答了“物理学如何是可能的”问题，即经验科学的基础问题，也回答了“数学如何是可能的”问题，即数学基础的问题。自此开始了自觉而有系统的数学哲学研究，但康德没有回答当时已很发达的微积分的基础问题。当时的数学家也都忙于运用虽然是粗糙的，但却是强有力的新工具去开发和解决大量实际问题和理论问题。至柯西(Augustin Louis Cauchy， 1789—1857)、魏尔斯特拉斯(Karl Weierstrass， 1815—1897)等数学家发展出的极限理论，才清除了围绕着微积分的核心概念——“无穷小”所产生的巨大混乱。实际上极限论还是属于数学本身而不属于数学基础的工作，但发展极限论的动因却是由于对微积分严格基础的追求，而且它本身也成了导致向更深入一层基础推进的动因。非欧几何的出现以及极限论的成功，使人们一反传统，把数学基础的观点，从几何方面移到了数的理论方面。从而迫切需要建立一个关于实数(主要是无理数)的严格理论。在这方面戴德金(Julius Wilhelm Richard Dedekind， 1831—1916)与康托尔的理论虽有所不同，但都是以算术和集合论作为基础。如康托尔发展了一个内容丰富和方法新颖的集合理论，把数学分析(微积分)归结为算术和集合论的这一过程，被数学史家称为“算术化运动”。随着数学基础移向数的理论方面，更由于算术化运动的进展，以及用数学方法研究逻辑规律的一系列工作，根本改变了逻辑与数学分家的局面。逻辑主义数学哲学应运而生。弗雷格以数学的最终基础是逻辑这一思想为指针，把算术理论归结为逻辑。罗素发现弗雷格工作中的一个根本性矛盾即罗素悖论，在罗素悖论的刺激下，罗素等人发展了新逻辑主义，布劳维等人提出并发展了直觉主义，希尔伯特等人提出并发展了形式主义，形成数学基础领域三大派相持的局面。它们都各自从数学整体的一个重要方面，进行深入精细的开掘，为对数学本性的理解作出了贡献。 |