| 实数 real number 数理逻辑研究的基本对象。有理数与无理数的总称。无理数就是不循环的无限小数，是公元前5世纪希腊的毕达哥拉斯学派所最早发现的。公元前3世纪欧几里得在他的《几何原本》中用不可通约量的几何形式给予系统的论述。19世纪70年代由戴德金(Richard Dedekind， 1831—1916)、魏尔斯特拉斯(Karl Weierstrass， 1815—1897)、康托尔、梅雷(C.Méray， 1835—1911)等人分别用有理数的分割、有界单调有理数列、有理数的正则序列等方法给出实数的严格定义。在实数集R中可以引进加与乘的运算及序关系，它们满足通常熟悉的性质，并且在同构的意义下，可以把有理数集Q看成R的子集，或者把R看作Q的扩张。实数集R与有理数集Q相比较，有一个根本性的区别，R的任一有上界的非空子集必有上确界。它是数学分析中许多重要定理成立的理论依据。这一性质在使用时特别方便，因此也可用它来定义实数。如果在R上定义了加、乘运算，则可以得到许多通常熟悉的性质，如结合律、交换律、恒等元、逆元、分配律、单调律等等，以及若干表述实数特征的与序完备性等价的定理。 |