椭圆积分

在积分学中，椭圆积分最初出现于椭圆的弧长有关的问题中。Guilio Fagnano和欧拉是最早的研究者。现代数学将椭圆积分定义为可以表达为如下形式的任何函数 $f \,$ 的积分

其中 $R \,$ 是其两个参数的有理函数， $P \,$ 是一个无重根的 $3 \,$ 或 $4 \,$ 阶多项式，而 $c \,$ 是一个常数。

通常，椭圆积分不能用基本函数表达。这个一般规则的例外出现在 $P \,$ 有重根的时候，或者是 $R \,$ , $\left(x,y \right) \,$ 没有 $y \,$ 的奇数幂时。但是，通过适当的简化公式，每个椭圆积分可以变为只涉及有理函数和三个经典形式的积分。（也即，第一，第二，和第三类的椭圆积分）。

除下面给出的形式之外，椭圆积分也可以表达为勒让德形式和Carlson对称形式。通过对施瓦茨-克里斯托费尔映射的研究可以加深对椭圆积分理论的理解。历史上，椭圆函数是作为椭圆积分的逆函数被发现的，特别是这一个： $F [ \textrm{sn} \left(z;k \right);k] = z\,$ 其中 $\textrm{sn} \,$ 是雅可比椭圆函数之一。

词汇	Elliptic integral
分类	英语词汇英语翻译词典
释义	Elliptic integral 原声例句科学60秒-科学美国人 2023年8月合集 That hand wrote a number of elliptic integrals. 那只手写下了许多椭圆积分。中文百科椭圆积分在积分学中，椭圆积分最初出现于椭圆的弧长有关的问题中。Guilio Fagnano和欧拉是最早的研究者。现代数学将椭圆积分定义为可以表达为如下形式的任何函数 $f \,$ 的积分其中 $R \,$ 是其两个参数的有理函数， $P \,$ 是一个无重根的 $3 \,$ 或 $4 \,$ 阶多项式，而 $c \,$ 是一个常数。通常，椭圆积分不能用基本函数表达。这个一般规则的例外出现在 $P \,$ 有重根的时候，或者是 $R \,$ , $\left(x,y \right) \,$ 没有 $y \,$ 的奇数幂时。但是，通过适当的简化公式，每个椭圆积分可以变为只涉及有理函数和三个经典形式的积分。（也即，第一，第二，和第三类的椭圆积分）。除下面给出的形式之外，椭圆积分也可以表达为勒让德形式和Carlson对称形式。通过对施瓦茨-克里斯托费尔映射的研究可以加深对椭圆积分理论的理解。历史上，椭圆函数是作为椭圆积分的逆函数被发现的，特别是这一个： $F [ \textrm{sn} \left(z;k \right);k] = z\,$ 其中 $\textrm{sn} \,$ 是雅可比椭圆函数之一。英语百科 Elliptic integral 椭圆积分 In integral calculus, elliptic integrals originally arose in connection with the problem of giving the arc length of an ellipse. They were first studied by Giulio Fagnano and Leonhard Euler. Modern mathematics defines an "elliptic integral" as any function $f$ which can be expressed in the form
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